삼변측량법과 행렬 계산 원리

안녕하세요 꾸꾸입니다!

 

지난 번 포스트에서 삼변측량법, 삼각측량법 등등에 대한 포스팅을 해봤어요!

2025.02.05 - [정보&팁] - 삼변측량법(Trilateration)의 원리, 수식, 증명

삼변측량법(Trilateration)의 원리, 수식, 증명

 

삼변측량법(Trilateration)은 여러 개의 기준점(Anchor)과 현재 위치까지의 거리 정보를 이용해 좌표를 계산하는 방법이에요. GPS 위치 측정, 로봇 내비게이션, 무선 네트워크 기반 실내 위치 측정 등에 널리 사용되지요.

이번 글에서는 네 개의 고정된 기준점과 현재 위치까지의 거리 정보를 이용해 행렬을 활용하여 위치를 계산하는 방법을 설명할게요!

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삼변측량법의 기본 원리

기준점 A(x,y,z) (i=1,2,3,4)가 주어지고, 현재 위치 P(x,y,z)까지의 거리 di를 알고 있다고 가정할게요.

 

이때, 각 기준점과의 거리 관계는 다음과 같은 비선형 방정식으로 표현할 수 있어요:

이 방정식을 풀려면 선형 형태로 변환해야 해요. 이를 위해 첫 번째 기준점을 기준으로 다른 기준점들과의 차이를 이용해 정리할 수 있어요!

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행렬을 이용한 삼변측량법

비선형 방정식을 선형화하려면 첫 번째 기준점을 기준점으로 삼고, 다른 기준점들의 식에서 차이를 계산하면 다음과 같은 형태로 정리할 수 있어요:

이를 일반적인 행렬 표현으로 바꾸면:

행렬의 구성

계수 행렬 A:

미지수 벡터 X:

우변 벡터 B:

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위치 계산 방법

위의 행렬 방정식을 풀면 x,y,z 좌표를 구할 수 있어요.

1) 역행렬을 이용한 해 구하기

만약 행렬 A가 정방행렬이고 가역이면, 역행렬을 이용해 다음과 같이 계산할 수 있어요.

2) 최소제곱법(Least Squares Method) 사용하기

만약 행렬 A가 정방행렬이 아니거나 과적합(overdetermined) 문제라면, 최소제곱법을 활용해서 다음과 같이 구할 수도 있어요.

이 방법을 사용하면 실제 데이터에서 위치를 보다 안정적으로 계산할 수 있어요.

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정리

✅ 삼변측량법은 기준점과의 거리를 이용해 좌표를 계산하는 방법이에요.

✅ 비선형 방정식을 선형 행렬 방정식으로 변환하여 쉽게 풀 수 있어요.

✅ 행렬 계산을 통해 역행렬 또는 최소제곱법을 활용해 정확한 위치를 추정할 수 있어요.

 

이제 삼변측량법을 활용해 다양한 위치 기반 기술을 적용해 보면 좋겠죠? 😊