삼변측량법(Trilateration)의 원리, 수식, 증명

안녕하세요 꾸꾸입니다!

삼변측량법(Trilateration)은 세 점 사이의 거리 정보를 이용하여 미지의 좌표를 구하는 방법입니다. 이는 기하학적인 원리(삼각형의 세 변이 결정되면 삼각형이 유일하게 결정됨)를 이용한 측량 기법입니다.

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1. 삼변측량법의 원리

삼변측량법은 세 개의 원이 만나는 점을 찾는 방식으로 동작합니다.

1. 기준이 되는 두 개의 점(A, B)의 좌표가 주어진다.
2. 세 번째 점(C)까지의 거리(AC, BC)를 측정한다.
3. 삼각형의 세 변(AB, AC, BC)을 알기 때문에 좌표 기하학을 이용하여 C의 좌표를 계산한다.

즉, 세 개의 원이 교차하는 점을 찾아 미지의 점의 좌표를 결정하는 방식입니다.

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2. 삼변측량법의 수식 유도

좌표 평면에서 세 개의 점을 설정하고 이를 일반화해보겠습니다.

(1) 변수 정의

• 기준점 A: (x1,y1)(x_1, y_1)(x1​,y1​)
• 기준점 B: (x2,y2)(x_2, y_2)(x2​,y2​)
• 미지의 점 C: (x,y)(x, y)(x,y)
• 거리 정보:

(2) 원의 방정식 설정

두 개의 기준점(A, B)에서 원을 그린다면, 각각의 원은 다음과 같은 방정식을 만족합니다.

첫 번째 원 (A를 중심으로)

​

두 번째 원 (B를 중심으로)

​

이 두 개의 방정식을 풀면 (x, y) 값을 구할 수 있습니다.

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3. 수학적 증명 (좌표 계산)

위의 두 개의 방정식을 풀어 C의 좌표 (x, y)를 구하는 과정을 살펴보겠습니다.

(1) 두 방정식의 차를 계산

먼저, 두 원의 방정식을 빼면 제곱항을 정리할 수 있습니다.

​

이를 전개하면,

제곱항이 없어지므로 정리하면,

​

이를 정리하면 일차 방정식 형태로 나타납니다.

(2) 두 개의 기준점이 아니라 세 개의 기준점이 있을 경우

보통 GPS와 같은 시스템에서는 세 번째 기준점 (x3,y3)(x_3, y_3)(x3​,y3​)과의 거리 d3d_3d3​을 추가적으로 사용하여 삼각측량을 보완할 수 있습니다.

이 경우, 추가적으로 다음 원 방정식을 추가합니다.

​

이제 세 개의 방정식이 있기 때문에, 미지수 x,yx, yx,y를 명확하게 계산할 수 있습니다.

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4. 삼변측량법의 응용

삼변측량법은 다양한 분야에서 사용됩니다.

(1) GPS (위성 측위 시스템)

• GPS는 여러 개의 위성에서 신호를 받아 **신호 도달 거리(시간 차이)**를 계산한 후, 삼변측량법을 사용하여 사용자의 위치를 구합니다.
• 일반적으로 4개 이상의 위성 신호를 받아 정확한 3D 좌표(위도, 경도, 고도)를 결정합니다.

(2) 토목 측량 및 지리학

• 지형 분석 및 거리 기반 좌표 측정에 사용됩니다.
• 광범위한 지형에서도 기준점만 있으면 거리 정보를 통해 정확한 위치를 계산할 수 있습니다.

(3) 로봇공학 및 무선 네트워크

• 로봇의 위치를 추적하거나, 신호 송수신을 통해 사물의 위치를 찾는 데 활용됩니다.

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5. 결론

삼변측량법은 거리 정보를 기반으로 좌표를 결정하는 기법으로, 수학적으로는 세 개의 원의 교점을 찾는 과정입니다. 수식적으로는 2개의 원 방정식을 연립하여 일차 방정식을 구하고 이를 해석적으로 푸는 방식으로 구현됩니다.

 

이 방법은 GPS, 로봇공학, 토목 측량, 무선 네트워크 등 여러 분야에서 필수적으로 사용되는 중요한 측량 기법입니다.